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O oráculo da aritmética

Prof. Dr. Peter Scholze, do Instituto de Matemática da Universidade de Bonn, na Alemanha, o mais novo vencedor do prestigiado Prêmio Leibniz. (Nyani Quarmyne para a Quanta Magazine)

De Erica Klarreich para a Quanta Magazine

Em 2010, um rumor surpreendente correu pela comunidade de teóricos dos números e alcançou Jared Weinstein. Aparentemente, alguns estudantes de pós-graduação da Universidade de Bonn, na Alemanha, escreveram um artigo científico que revisava “Harris-Taylor” — um livro de 288 páginas dedicado a uma única prova impenetrável na teoria dos números — em apenas 37 páginas. O estudante de 22 anos, Peter Scholze, encontrou uma maneira de evitar uma das partes mais complicadas da prova, que trata de uma ampla conexão entre a teoria dos números e a geometria.

“Foi tão deslumbrante para alguém tão jovem ter feito algo tão revolucionário”, disse Weinstein, um teórico de 34 anos, agora na Universidade de Boston. “Foi extremamente humilhante”.

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Os matemáticos da Universidade de Bonn, que fizeram de Scholze um professor completo apenas dois anos depois do feito, já estavam cientes de sua extraordinária mente matemática. Depois que ele publicou seu artigo Harris-Taylor, especialistas em teoria dos números e geometria também começaram a notar Scholze.

Desde então, Scholze, agora com 28 anos, foi alçado a uma eminência na comunidade geral de matemática. As citações de prêmios o chamaram de “já um dos matemáticos mais influentes do mundo” e “um talento raro que só emerge a raras poucas décadas”. Ele é falado como um favorito pesado para a Medalha Fields, uma das maiores honras em matemática.

A inovação-chave de Scholze — uma classe de estruturas fractal que ele chama de espaços perfeitos — tem apenas alguns anos, mas já possui ramificações de longo alcance no campo da geometria aritmética, onde a teoria numérica e a geometria se unem. O trabalho de Scholze tem uma “qualidade presciente”, disse Weinstein. “Ele consegue ver os desenvolvimentos antes mesmo de começar”.

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Muitos matemáticos reagem a Scholze com “uma mistura de admiração e medo e alegria”, disse Bhargav Bhatt, matemático da Universidade de Michigan, que escreveu trabalhos conjuntos com Scholze.

Isso não se deve a sua personalidade, que colegas descrevem uniformemente como fundamentado e generoso. “Ele nunca faz você sentir que ele está bem, de alguma forma, acima de você”, disse Eugen Hellmann, colega de Scholze na Universidade de Bonn.

Ao contrário, aquela reação é devido à sua capacidade incansável de ver profundamente a natureza dos fenômenos matemáticos. Ao contrário de muitos matemáticos, muitas vezes ele não começa com um problema particular que ele quer resolver, mas com algum conceito indescritível que ele quer entender por seu próprio bem. Mas então, disse Ana Caraiani, teórica dos números na Universidade de Princeton que colaborou com Scholze, as estruturas que ele criou “acabam por ter aplicações em milhões de outras direções que não foram previstas na época, só porque [essas estruturas] eram os objetivos certos sobre os quais se pensar.”

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Aprendendo aritmética

Scholze começou a se ensinar matemática de nível universitário aos 14 anos, enquanto frequentava o ginásio em Heinrich Hertz, uma escola secundária de Berlim especializada em matemática e ciências. Sobre Heinrich Hertz, Scholze disse: “você não era visto com um estranho se você estivesse interessado em matemática”.

Aos 16 anos, Scholze soube que uma década antes, Andrew Wiles, em colaboração com Richard Lawrence Taylor, provou o famoso problema do século XVII, conhecido como o Último Teorema de Fermat (veja o vídeo), que diz que a equação xn + yn = zn não possui soluções de números inteiros diferentes de zero se n for maior do que dois. Scholze estava ansioso para estudar a prova, mas descobriu rapidamente que, apesar da simplicidade do problema, sua solução usa alguns dos mais avançados conhecimentos matemáticos. “Não entendi nada, mas foi realmente fascinante”, disse ele.

Então Scholze recuou, procurando descobrir o que ele precisava para aprender a entender a prova. “Até hoje, isso é em grande parte como eu aprendo”, disse ele. “Eu nunca aprendi as coisas básicas como a álgebra linear, na verdade: eu apenas a assimilei aprendendo outras coisas”.

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À medida que Scholze mergulhava na prova do Último Teorema de Fermat, mais ele se tornava cativado pelos objetos matemáticos envolvidos — estruturas chamadas formas modulares e curvas elípticas que unem misteriosamente áreas distintas da teoria dos números, da álgebra, da geometria e da análise numérica. Ler sobre os tipos de objetos envolvidos talvez tenha sido mais fascinante do que o próprio problema, disse ele.

Os gostos matemáticos de Scholze estavam tomando forma. Hoje, ele ainda gravita em relação a problemas que têm suas raízes em equações básicas sobre números inteiros. Essas raízes muito tangíveis fazem com que as estruturas matemáticas, mesmo esotéricas, se tornem concretas para ele. “Estou interessado em aritmética, no final”, disse ele. Ele é mais feliz, disse ele, quando suas construções abstratas levaram-no de volta a pequenas descobertas sobre números inteiros comuns.

Após o ensino médio, Scholze continuou a perseguir este interesse na teoria e geometria dos números na Universidade de Bonn. Nas aulas de matemática lá, ele nunca tomou notas, lembrou Hellmann, que era seu colega de classe. Scholze poderia entender o material do curso em tempo real, disse Hellmann. “Não apenas entender, mas compreender realmente em algum tipo de nível profundo, para que ele também não se esqueça”.

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Scholze começou a fazer pesquisas no campo da geometria aritmética, que usa ferramentas geométricas para entender soluções de números inteiros para equações polinomiais — equações como  xy2 + 3= 5 que envolvem apenas números, variáveis e expoentes. Para algumas equações desse tipo, é frutífero estudar se elas têm soluções entre sistemas de números alternativos chamados números p-ádicos, que, como os números reais, são construídos preenchendo as lacunas entre números inteiros e frações. Mas esses sistemas são baseados em uma noção não padrão de onde estão as lacunas e quais números estão próximos um do outro: em um sistema de números p-ádicos, dois números são considerados próximos não se a diferença entre eles for pequena, mas se essa diferença for divisível muitas vezes por p.

O Instituto de Matemática da Universidade de Bonn, na Alemanha.(Nyani Quarmyne para a Quanta Magazine)

O Instituto de Matemática da Universidade de Bonn, na Alemanha.(Nyani Quarmyne para a Quanta Magazine)

É um critério estranho, mas útil. Os números 3-ádicos, por exemplo, fornecem uma maneira natural de estudar equações como x2 = 3y2, nas quais os fatores de três são fundamentais.

Os números P-ádicos estão “muito afastados de nossas intuições diárias”, disse Scholze. Ao longo dos anos, porém, eles se tornaram naturais para ele. “Agora eu acho números reais muito, muito mais confusos do que os números p-ádicos. Eu me tornei tão acostumado com isso que agora os números reais me parecem muito estranhos”.

Os matemáticos notaram na década de 1970 que muitos problemas relativos aos números p-ádicos se tornam mais fáceis se você expandir os números p-ádico criando uma torre infinita de sistemas numéricos em que cada um envolve o que está abaixo dele, com números p-ádicos na parte inferior da torre. No “topo” desta torre infinita está o espaço envolvente final — um objeto fractal que é o exemplo mais simples dos espaços perfeitos que Scholze desenvolveria mais tarde.

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Scholze estabeleceu que a tarefa de resolver por que essa construção infinita envolvente faz com que muitos problemas sobre os números p-ádicos e polinômios sejam mais fáceis. “Eu estava tentando entender o núcleo desse fenômeno”, disse ele. “Não havia formalismo geral que pudesse explicar.”

Ele finalmente percebeu que é possível construir espaços perfeitos para uma ampla variedade de estruturas matemáticas. Esses espaços perfeitos, ele mostrou, permitem extrair questões sobre polinômios do mundo p-ádico em um universo matemático diferente em que a aritmética é muito mais simples (por exemplo, você não precisa transportar ao realizar a adição). “A propriedade mais estranha sobre espaços perfeitos é que eles podem se mover mágicamente entre os dois sistemas de números”, disse Weinstein.

Esta visão permitiu que Scholze provasse parte de uma demonstração complicada sobre as soluções p-ádicas para polinômios, chamado de conjetura monodromia pesada, que se tornou sua tese de doutorado de 2012. A tese “teve implicações de tão grande alcance que foi o tema de grupos de estudo em todo o mundo”, disse Weinstein.

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Scholze “encontrou precisamente a maneira correta e limpa de incorporar todo o trabalho previamente feito e encontrar uma formulação elegante para isso — e, então, como ele encontrou realmente o quadro correto, ir muito além dos resultados conhecidos”, disse Hellmann.

Sobrevoando a selva

Apesar da complexidade dos espaços perfeitos, Scholze é conhecido pela clareza de suas conversas e documentos. “Eu realmente não entendo nada até que Peter me explique”, disse Weinstein.

Peter Scholze, em junho, em um seminário de geometria na Universidade de Bonn. — Nyani Quarmyne para Quanta Magazine

Peter Scholze, em junho, em um seminário de geometria na Universidade de Bonn. (Nyani Quarmyne para Quanta Magazine.)

Scholze faz questão de tentar explicar suas idéias em um nível que até mesmo os estudantes de graduação podem seguir, disse Caraiani. “Há essa sensação de abertura e generosidade em termos de idéias”, disse ela. “E ele não apenas faz isso com algumas pessoas seniores, mas na verdade, muitos jovens têm acesso a ele”. O comportamento amável e acessível de Scholze faz dele um líder ideal em seu campo, disse Caraiani. Uma vez, quando ela e Scholze estavam em uma lida difícil com um grupo de matemáticos, “ele era o único que estava preocupado em se certificar de que todos conseguiram e verificava a cada um”, disse Caraiani.

No entanto, mesmo com o benefício das explicações de Scholze, os espaços perfeitos são difíceis de entender por outros pesquisadores, disse Hellmann. “Se você se afastar um pouco do caminho ou do jeito que ele prescreve, então você está no meio da selva e na verdade é muito difícil.” Mas o próprio Scholze, disse Hellmann, “nunca se perderia na selva, porque ele nunca está tentando lutar contra a selva. Ele sempre está procurando a visão geral, que o leve a algum tipo de conceito claro.”

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Scholze evita se enredar nas videiras da selva, obrigando-se a voar acima delas. Como quando ele estava na faculdade, ele prefere trabalhar sem escrever nada. “Isso significa que ele deve formular suas idéias da maneira mais limpa possível”, explica Hellmann. “Você tem apenas algum tipo de capacidade limitada na sua cabeça, então você não pode fazer coisas muito complicadas”.

Enquanto outros matemáticos estão agora começando a lidar com espaços perfeitos, algumas das descobertas mais abrangentes sobre eles, não surpreendentemente, vieram de Scholze e seus colaboradores. Em 2013, um resultado que publicou na internet “realmente meio que atordoou a comunidade”, disse Weinstein. “Nós não tínhamos ideia de que tal teorema estava no horizonte”.

O resultado de Scholze expandiu o escopo das regras conhecidas como leis de reciprocidade, que regem o comportamento de polinômios que utilizam a aritmética de um relógio (embora não necessariamente um com 12 horas). A aritmética do relógio (em que, por exemplo, 8 + 5 = 1 se o relógio tem 12 horas) são os sistemas de números finitos mais naturais e amplamente estudados em matemática.

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As leis de reciprocidade são generalizações da lei de reciprocidade quadrática de 200 anos, uma pedra angular da teoria dos números e um dos teoremas favoritos de Scholze. A lei afirma que, com dois números primos p e q, na maioria dos casos, p é um quadrado perfeito em um relógio com q horas exatamente quando q é um quadrado perfeito em um relógio com p horas. Por exemplo, cinco é um quadrado perfeito em um relógio com 11 horas, uma vez que 5 = 16 = 4² e 11 é um quadrado perfeito em um relógio com cinco horas, desde 11 = 1 = 1².

“Eu acho muito surpreendente”, disse Scholze. “Em frente a isso está essas duas coisas que parecem não ter nada a ver uma com a outra”.

“Você pode interpretar uma grande quantidade de teoria do número algébrico moderno como apenas tentativas de generalizar esta lei”, disse Weinstein.

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Em meados do século vinte, os matemáticos descobriram um elo surpreendente entre as leis de reciprocidade e o que parecia ser um assunto completamente diferente: a geometria “hiperbólica” de padrões como o M.C. As famosas gravuras de um anjo-diabo de Escher em um disco. Essa ligação é uma parte fundamental do “programa Langlands”, uma coleção de conjecturas e teoremas interligados sobre a relação entre a teoria dos números, a geometria e a análise. Quando essas conjecturas podem ser provadas, muitas vezes são enormemente poderosas: por exemplo, a prova do último teorema de Fermat reduziu-se a resolver uma seção pequena (mas altamente não trivial) do programa Langlands.

Os matemáticos tornaram-se gradualmente conscientes de que o programa Langlands se estende muito além do disco hiperbólico; também pode ser estudado em espaços hiperbólicos de dimensão superior e em vários outros contextos. Agora, Scholze mostrou como estender o programa Langlands a uma ampla gama de estruturas em “hiperbólicos de três espaços” — um análogo tridimensional do disco hiperbólico — e além. Ao construir uma versão perfeita dos hiperbólicos de três espaços, Scholze descobriu um conjunto inteiramente novo de leis de reciprocidade.

“O trabalho de Peter realmente transformou completamente o que pode ser feito, para o que temos acesso”, disse Caraiani.

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O resultado de Scholze, disse Weinstein, mostra que o programa Langlands são “mais profundo do que pensamos … é mais sistemático, está sempre presente”.

Conhecido por seu trabalho em espaços perfeitos, Scholze, de 28 anos, foi chamado de

Conhecido por seu trabalho em espaços perfeitos, Scholze, de 28 anos, foi chamado de “um dos matemáticos mais influentes do mundo”. (Nyani Quarmyne para a Quanta Magazine)

Avanço rápido

Discutir matemática com Scholze é como consultar um “oráculo da verdade”, de acordo com Weinstein. “Se ele diz: ‘sim, vai funcionar’, você pode ter certeza disso; se ele disser que não, você deveria desistir logo; e se ele diz que não sabe  o que acontece então, bem, sortudo, isso é porque você tem um problema interessante nas mãos”.

No entanto, colaborar com Scholze não é uma experiência tão intensa como seria de esperar, disse Caraiani. Quando trabalhou com Scholze, nunca houve uma sensação de pressa, disse ela. “Sentia-se que, de alguma forma, sempre estávamos fazendo as coisas do jeito certo — de alguma forma provando o teorema mais geral que podíamos, da maneira mais legal, fazendo as construções certas que iluminariam as coisas”.

Houve uma ocasião, no entanto, quando o próprio Scholze se apressou — enquanto tentava terminar um artigo no final de 2013, pouco antes do nascimento de sua filha. Foi por um bom motivo que ele se forçava, então, disse ele: “Eu não consegui muitos feitos, no final das contas”.

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Tornar-se um pai obrigou-o a vir a ser mais disciplinado em como ele usa seu tempo, disse Scholze. Mas ele não precisa fazer questão de se livrar do tempo gasto com pesquisa — a matemática simplesmente enche todos os espaços entre suas outras obrigações. “A matemática é minha paixão, eu acho”, disse ele. “Eu sempre quero pensar sobre isso”.

No entanto, ele não está inclinado a romantizar essa paixão. Perguntado se ele sentiu que ele deveria ser um matemático, ele foi modesto. “Isso me parece muito filosófico”, disse ele.

Como uma pessoa reservada, ele está um pouco desconfortável com a sua celebridade crescente (em março, por exemplo, ele se tornou o mais jovem destinatário do prestigiado Prêmio Leibniz da Alemanha, que concede 2,5 milhões de euros para pesquisas futuras). “Às vezes é um pouco irresistível”, disse ele. “Eu tento não deixar minha vida diária ficar influenciada por isso”.

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Scholze continua a explorar espaços perfeitos, mas também se ramificou para outras áreas da matemática, tomando contato com a topologia algébrica, ramo que usa a álgebra para estudar as formas. “Ao longo do último ano e meio, Peter tornou-se um mestre completo do assunto”, disse Bhatt. “Ele mudou o caminho como [os especialistas] pensam sobre isso”.

Pode ser assustador, mas também emocionante para outros matemáticos quando Scholze entra em seu campo, disse Bhatt. “Isso significa que o assunto realmente vai se mover rápido. Estou em êxtase que ele esteja trabalhando em uma área próxima da minha, então vejo as fronteiras do conhecimento avançar”.

No entanto, para Scholze, seu trabalho até agora é apenas um aquecimento. “Eu ainda estou na fase em que eu estou tentando aprender o que está lá, e talvez reformulando isso em minhas próprias palavras”, disse ele. “Eu não sinto que eu realmente comecei a fazer pesquisas”.

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Este artigo foi reimpresso no Wired.com. Traduzido da Quanta Magazine. Leia o artigo original clicando aqui.

 

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Mestrando em Estudos Ambientais pela UCES, Buenos Aires. Graduado em Engenharia Civil e pós-graduado em Gestão Pública e Controladoria Governamental. Com interesse por ciência, tecnologia, filosofia, desenvolvimento sustentável e diversas outras áreas do conhecimento humano.

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