A longa busca pelo valor de Pi
 

CiênciaHistóriaMatemáticaA longa busca pelo valor de Pi

Diógenes Henrique14 de março de 201719 min

A odisseia matemática, além de um guia para calcular Pi por si mesmo

Texto adaptado da ScientificAmerican.com

Valor de pi

 

O número representado por pi (π) é usado em cálculos sempre que algo redondo (ou quase) está envolvido, como círculos, esferas, cilindros, cones e elipses. O valor de pi é necessário para calcular muitas quantidades importantes sobre essas formas, tal como a compreensão da relação entre o raio de um círculo e sua circunferência e área (circunferência=2πr; área=πr2).

Pi também aparece nos cálculos para determinar a área de uma elipse e em encontrar o raio, a área de superfície e o volume de uma esfera.

Nosso mundo contém muitos objetos redondos e quase redondos; encontrar o valor exato de pi nos ajuda a trabalhar com eles com mais precisão — ou mesmo fabricar tais objetos.

Historicamente, as pessoas tinham apenas estimativas muito grosseiras de pi (como 3, ou 3,12, ou 3,16) e, embora soubessem que estas eram estimativas, elas não tinham ideia de quão longe poderiam estar.

A busca pelo valor exato de pi levou não apenas a maior precisão, mas também ao desenvolvimento de novos conceitos e técnicas, como limites e algoritmos iterativos, que se tornaram fundamentais para novas áreas da matemática.

Encontrando o valor real de pi

Arquimedes. André Thévet (1584)
Arquimedes. André Thévet (1584)
O método de Arquimedes de calcular pi envolvia polígonos com mais e mais lados. Leszek Krupinski, CC BY-SA
O método de Arquimedes de calcular pi envolvia polígonos com mais e mais lados. Leszek Krupinski, CC BY-SA

Entre 3.000 e 4.000 anos atrás, as pessoas usavam aproximações do valor de pi obtidas por tentativa e erro, sem fazer nenhum cálculo para considerar possíveis erros. As primeiras aproximações escritas do valor de pi são 3,125 na Babilônia (1900-1600 a.C.) e 3,1605 no antigo Egito (1650 a.C.). Ambas as aproximações começam com 3.1 — muito perto do valor real, mas ainda relativamente longe.

Por volta de 265 d.C., o matemático chinês Liu Hui criou um algoritmo iterativo baseado em polígonos simples. Ele propôs um método de aproximação muito rápido e eficiente, o qual deu quatro dígitos precisos ao valor de pi. Mais tarde, por volta de 480 dC, Zu Chongzhi adotou o método de Liu Hui e conseguiu sete dígitos de precisão. Esse registro de Liu Hui perdurou por outros 800 anos.

Em 1630, o astrônomo austríaco Christoph Grienberger chegou a 38 dígitos, que é a aproximação mais precisa manualmente obtida usando algoritmos poligonais.

Movendo-se para além dos polígonos

Método de Liu Hui de cálculo de pi também utilizados polígonos, mas de uma forma ligeiramente diferente. Gisling e Pbroks13, CC BY-SA
Método de Liu Hui de cálculo de pi também utilizados polígonos, mas de uma forma ligeiramente diferente. Gisling e Pbroks13, CC BY-SA

O desenvolvimento de técnicas de séries infinitas nos séculos XVI e XVII aumentou muito a capacidade das pessoas de calcular pi mais eficientemente. Uma série infinita é a soma (ou muito menos comumente, o produto) dos termos de uma sequência infinita, como ½, ¼, 1/8, 1/16, … 1 / (2n). A primeira descrição escrita de uma série infinita que poderia ser usada para computar pi foi apresentada em verso sânscrito pelo astrônomo indiano Nilakantha Somayaji por volta do ano de 1500 d. C., a prova disso foi apresentada em torno de 1530.

Em 1665, o matemático e físico inglês Isaac Newton usou séries infinitas para computar pi a 15 dígitos usando o método de cálculo que ele e o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz descobriram. Depois disso, o registro manteve-se sendo quebrado. Alcançou 71 dígitos em 1699, 100 dígitos em 1706 e 620 dígitos em 1956 — a melhor aproximação obtida sem a ajuda de uma calculadora ou computador.

Sir Isaac Newton. Wellcome Trust, CC BY
Sir Isaac Newton. Wellcome Trust, CC BY

Em conjunto com esses cálculos, os matemáticos estavam pesquisando outras características de pi. O matemático suíço Johann Heinrich Lambert (1728-1777) provou primeiro que pi é um número irracional — tem um número infinito de dígitos que nunca entram em um padrão de repetição. Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que pi NÃO PODE ser expresso em uma equação algébrica racional (como pi² = 10 ou 9pi4 – 240pi2 + 1492 = 0).

Em direção a mais e mais dígitos de pi

Grande crescimento dos cálculos para ainda mais dígitos de pi seguiu após a adoção de algoritmos iterativos, que repetidamente constroem um valor atualizado usando um cálculo realizado no valor anterior. Um exemplo simples de um algoritmo iterativo permite aproximar a raiz quadrada de 2 da seguinte forma, usando a fórmula (x + 2 / x) / 2:

Carl Louis Ferdinand von Lindemann.
Carl Louis Ferdinand von Lindemann.

(2+2/2)/2 = 1,5;

(1.5+2/1,5)/2 = 1,4167;

(1.4167+ 2/1,4167)/2 = 1,4142, que já é uma aproximação muito precisa.

Avanços em direção a mais dígitos para pi vieram com o uso de um algoritmo semelhante ao algoritmo de Machin (uma generalização da fórmula do matemático inglês John Machin desenvolvida em 1706) e o algoritmo de Gauss-Legendre (final do século XVIII) em computadores eletrônicos (inventados em meados do século XX). Em 1946, o ENIAC, o primeiro computador eletrônico de uso geral, calculou 2,037 dígitos de pi em 70 horas. Um cálculo mais recente encontrou mais de 13 trilhões de dígitos de pi em 208 dias!

Tem sido amplamente aceito que para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo pi, uma dúzia de dígitos fornece precisão suficiente. De acordo com os matemáticos Jörg Arndt e Christoph Haenel, 39 dígitos são suficientes para realizar a maioria dos cálculos cosmológicos, porque essa é a precisão necessária para calcular desde a circunferência do universo observável até o diâmetro de um átomo. Além disso, mais dígitos de pi não são de uso prático nos cálculos; em vez disso, hoje a busca de mais dígitos de pi é para testes de supercomputadores e de algoritmos de análise numérica.

Você mesmo calculando pi

Existem também métodos divertidos e simples para estimar o valor de pi. Um dos mais conhecidos é um método chamado “Monte Carlo“.

Um quadrado com círculo inscrito
Um quadrado com círculo inscrito

O método é bastante simples. Para experimentá-lo em casa, desenhe um círculo e um quadrado em torno dele (como mostrado à esquerda) em um pedaço de papel. Imagine os lados do quadrado são de comprimento 2, então sua área é 4; O diâmetro do círculo é, portanto, 2, e sua área é pi (A= πr2, (π.(2)2 )/4, que resulta π). A razão entre as suas áreas é pi / 4, ou cerca de 0,7854.

Isto significa que, se você escolher N pontos aleatoriamente dentro do quadrado, aproximadamente N * pi / 4 desses pontos devem cair dentro do círculo.

Ou seja, dito de outra forma: feche os olhos e coloque pontos no quadrado aleatoriamente. Se você fizer isso bastantes vezes, e se seus esforços são verdadeiramente aleatórios, eventualmente a porcentagem de vezes que seu ponto desembarcou dentro do círculo se aproximará de 78,54% – ou 0,7854.

Este programa escolhe pontos aleatoriamente dentro do quadrado. Em seguida, verifica se o ponto está dentro do círculo (sabe que está dentro do círculo se x 2+ y 2 <R 2, onde x e y são as coordenadas do ponto, e R é o raio do círculo ). O programa mantém o controle de quantos pontos ele escolheu até agora (N) e quantos desses pontos caíram dentro do círculo (M).

Mas se você não quiser utilizar o programa acima, solte a caneta aleatoriamente dentro do quadro e conte quantas vezes ela caiu dentro do círculo e quantas foram os pontos escolhidos (totais de pontos).

Pi é então aproximadamente calculado como se segue:

    4*M
Pi = ——–
    N

 

Embora o método Monte Carlo seja frequentemente útil para resolver problemas na física e na matemática que não podem ser resolvidos por meios analíticos, esse é um método um tanto lento de calcular pi. Para calcular cada dígito significativo, terá de haver cerca de 10 vezes mais tentativas do que para calcular o dígito significativo anterior .

De qualquer forma, agora você se juntou às fileiras de matemáticos que calcularam pi pro si próprios ao longo das eras.

Este artigo foi adaptado do original em The Conversation e em Scientific American. Leia o artigo original aqui.